中央电视台教育频道开奖直播:2021高考數學一輪復習課后限時集訓31平面向量的數量積與平面向量應用舉例理北師大版

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課后限時集訓31

平面向量的數量積與平面向量應用舉例

建議用時:45分鐘

一、選擇題

1.(2018·全國卷Ⅱ)已知向量a,b滿足|a|=1,a·b=-1,則a·(2a-b)= (  )

A.4      B.3     

C.2      D.0

B [a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3,故選B.]

2.已知平面向量a=(-2,3),b=(1,2),向量λa+b與b垂直,則實數λ的值為(  )

A.a8e989a29ac93059ad4b5966aee4333b.png B.-a8e989a29ac93059ad4b5966aee4333b.png

C.9d3355dd2ffe42827c14804d953fb335.png D.-9d3355dd2ffe42827c14804d953fb335.png

D [∵a=(-2,3),b=(1,2),

∴λa+b=(-2λ+1,3λ+2).

∵λa+b與b垂直, ∴(λa+b)·b=0,

∴(-2λ+1,3λ+2)·(1,2)=0,

即-2λ+1+6λ+4=0,解得λ=-9d3355dd2ffe42827c14804d953fb335.png.]

3.已知向量a,b滿足|a|=1,b=(2,1),且a·b=0,則|a-b|=(  )

A.fa4a92309c2de95d317265960bf451b0.png B.a74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.png

C.2 D.9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png

A [因為|a|=1,b=(2,1),且a·b=0,所以|a-b|2=a2+b2-2a·b=1+5-0=6,所以|a-b|=45390a4bbe44d3830853304706ce08bc.png.故選A.]

4.如圖在邊長為1的正方形組成的網格中,平行四邊形ABCD的頂點D被陰影遮住,請設法計算1504cc2708929d612ceeb6e70f4ca557.png·c20175d5bf1bd0c4e0230f7181071b9c.png=(  )

A.10 B.11

C.12 D.13

B [以A為坐標原點,建立平面直角坐標系,則A(0,0),B(4,1),C(6,4),1504cc2708929d612ceeb6e70f4ca557.png=(4,1),c20175d5bf1bd0c4e0230f7181071b9c.png=b56fd8f23627d58f121a361eb333790f.png=(2,3),∴1504cc2708929d612ceeb6e70f4ca557.png·c20175d5bf1bd0c4e0230f7181071b9c.png=4×2+1×3=11,故選B.]

5.(2019·銀川模擬)已知i,j為互相垂直的單位向量,a=i-2j,b=i+λj,且a與b的夾角為銳角,則實數λ的取值范圍是(  )

A.575f9dce69f58faad3e00cbd4607f77d.png∪a22ef80a27c03f031cea82c4944acaa2.png B.338724bddc793e8a86ead274469b2601.png

C.(-∞,-2)∪d669459a7df4b2efd75e00c46c561a1b.png D.a22c7c8fb4328ac5d6c58dc8d9e00f19.png

C [不妨令i=(1,0),j=(0,1),

則a=(1,-2),b=(1,λ),

因為它們的夾角為銳角,

所以a·b=1-2λ>0且a,b不共線,

所以λ<df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png且λ≠-2,故選C.]

6.(2019·河北衡水模擬三)已知向量a=(1,k),b=(2,4),則“k=-df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png”是“|a+b|2=a2+b2”的(  )

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

C [由|a+b|2=a2+b2,得a2+2a·b+b2=a2+b2,得a·b=0,得(1,k)·(2,4)=0,解得k=-66cb1286d2ae3e9092235381221e59d2.png,所以“k=-df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png”是“|a+b|2=a2+b2”的充要條件.故選C.]

7.(2019·寶雞模擬)在直角三角形ABC中,角C為直角,且AC=BC=1,點P是斜邊上的一個三等分點,則7f5b5abb17cb6dad50666a648c930045.png·961f05332828d2afc4daf77fa42a602e.png+7f5b5abb17cb6dad50666a648c930045.png·40664d01569b04fe9b8300347cf14537.png=(  )

A.0 B.1

C.35a31b705b246b7ad7b441f074f1d9cf.png D.-35a31b705b246b7ad7b441f074f1d9cf.png

B [以點C的坐標原點,分別以40664d01569b04fe9b8300347cf14537.png,961f05332828d2afc4daf77fa42a602e.png的方向為x軸,y軸的正方向建立平面直角坐標系(圖略),則C(0,0),A(1,0),B(0,1),不妨設P95cdee3e5dba38174c150c31961285a4.png,所以7f5b5abb17cb6dad50666a648c930045.png·961f05332828d2afc4daf77fa42a602e.png+7f5b5abb17cb6dad50666a648c930045.png·40664d01569b04fe9b8300347cf14537.png=7f5b5abb17cb6dad50666a648c930045.png·(961f05332828d2afc4daf77fa42a602e.png+40664d01569b04fe9b8300347cf14537.png)=7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png+6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png=1.故選B.]

二、填空題

8.已知平面向量a,b滿足a·(a+b)=3,且|a|=2,|b|=1,則向量a與b的夾角的正弦值為________.

b702758df4d9b7bf8fe7a0882928ea08.png [∵a·(a+b)=a2+a·b=22+2×1×cos〈a,b〉=4+2cos〈a,b〉=3,

∴cos〈a,b〉=-df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png,又〈a,b〉∈[0,π],

∴sin〈a,b〉=44fc73fb60d9b17d88bc46d018a572f7.png=b702758df4d9b7bf8fe7a0882928ea08.png.]

9.已知平面向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,|a+b|=9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png,則a在b方向上的投影等于________.

-df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png [∵|a|=1,|b|=2,|a+b|=9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png,

∴(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=5+2a·b=3,

∴a·b=-1,∴a在b方向上的投影為3ec117c6718146455a4ff67c2379abff.png=-df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png.]

10.(2019·天津高考)在四邊形ABCD中,AD∥BC,AB=29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png,AD=5,∠A=30°,點E在線段CB的延長線上,且AE=BE,則d9f5ca4e7a7b95183d91b2fda99c4a50.png·112c33a76da58a2f60fa35e41dad1465.png=________.

-1 [法一:∵∠BAD=30°,AD∥BC,∴∠ABE=30°,又EA=EB,∴∠EAB=30°,

在△EAB中,AB=29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png,∴EA=EB=2.

以A為坐標原點,直線AD為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系.

則A(0,0),D(5,0),E(1,9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png),B(3,9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png),

∴d9f5ca4e7a7b95183d91b2fda99c4a50.png=(2,-9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png),112c33a76da58a2f60fa35e41dad1465.png=(1,9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png),

∴d9f5ca4e7a7b95183d91b2fda99c4a50.png·112c33a76da58a2f60fa35e41dad1465.png=(2,-9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png)·(1,9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png)=-1.

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