体彩37选1开奖直播:2021高考數學一輪復習課后限時集訓28正弦定理、余弦定理的綜合應用理北師大版

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課后限時集訓28

正弦定理、余弦定理的綜合應用

建議用時:45分鐘

一、選擇題

1.一名學生在河岸上緊靠河邊筆直行走,某時刻測得河對岸靠近河邊處的參照物與學生前進方向成30°角.前進200 m后,測得該參照物與前進方向成75°角,則河的寬度為(  )

A.50(9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png+1)m B.100(9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png+1)m

C.501553867a52c684e18d473467563ea33b.png m D.100 1553867a52c684e18d473467563ea33b.png m

A [如圖所示,在△ABC中,∠BAC=30°,∠ACB=75°-30°=45°,AB=200 m,由正弦定理,得BC=57312c897ac4e4032d0eb5dada368a88.png=1001553867a52c684e18d473467563ea33b.png(m),所以河的寬度為BCsin 75°=1001553867a52c684e18d473467563ea33b.png×993998c9929687ab1c73c1864466a5ba.png=50(9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png+1)(m).]

2.已知△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且cos 2A+cos 2B=2cos 2C,則cos C的最小值為(  )

A.b702758df4d9b7bf8fe7a0882928ea08.png    B.193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.png

C.df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png    D.-df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png

C [因為cos 2A+cos 2B=2cos 2C,所以1-2sin2A+1-2sin2B=2-4sin2C,得a2+b2=2c2,cos C=764f8f3a86a88b6a3bae838882cb26ec.png=03f3012485c5f7617800519e247dfeb8.png≥74f11e656134c449cce73f0f1e07c2d1.png=df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png,當且僅當a=b時等號成立,故選C.]

3.在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知(a+b-c)(a+b+c)=3ab,且c=4,則△ABC面積的最大值為(  )

A.89097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png B.49097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png

C.29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png D.9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png

B [由已知等式得a2+b2-c2=ab,則cos C=764f8f3a86a88b6a3bae838882cb26ec.png=87ec61e376109d0a97e3c4994c85372c.png=df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png.由C∈(0,π),所以sin C=b702758df4d9b7bf8fe7a0882928ea08.png.又16=c2=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab,則ab≤16,所以S△ABC=e5d1fd338a8f28c91b19d3908915db5d.pngabsin C≤df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png×16×b702758df4d9b7bf8fe7a0882928ea08.png=49097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png.故Smax=40ce4760e9970e62401abb2674d7bf7f5.png.故選B.]

4.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2c·cos B=2a+b,若△ABC的面積為S=b702758df4d9b7bf8fe7a0882928ea08.pngc,則ab的最小值為(  )

A.8 B.10

C.12 D.14

C [在△ABC中,由已知及正弦定理可得2sin Ccos B=2sin A+sin B=2sin(B+C)+sin B,即2sin Ccos B=2sin Bcos C+2sin Ccos B+sin B,所以2sin Bcos C+sin B=0.因為sin B≠0,所以cos C=-df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png,C=6866f5f55bcdb05fc3c4a4512c010e8b.png.由于△ABC的面積為S=df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngab·sin C=9633213ca76a0993e59a41f924a4ff3d.pngab=b702758df4d9b7bf8fe7a0882928ea08.pngc,所以c=df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngab.由余弦定理可得c2=a2+b2-2ab·cos C,整理可得0495c943adeef64d4e2ed7db21a0c83e.pnga2b2=a2+b2+ab≥3ab,當且僅當a=b時,取等號,所以ab≥12.]

5.在△ABC中,sin B=7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png,BC邊上的高為AD,D為垂足,且BD=2CD,則cos∠BAC=(  )

A.-a59ce3117b23ea9d9e111f3a6c270771.png B.a59ce3117b23ea9d9e111f3a6c270771.png

C.-3a3bac3ec04c253bff1e4fb16eae2159.png D.3a3bac3ec04c253bff1e4fb16eae2159.png

A [依題意設CD=x,AD=y,則BD=2x,BC=3x.因為sin B=7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png,所以AB=bd95a0fd190eeac036c0a3cf7add3cea.png=3y.因為BC邊上的高為AD,如圖所示,所以AB2=AD2+BD2=y2+4x2=9y2,即x=a5ee308c74686f6fc715cfc411104dee.pngy.所以AC=58f12dea882101ef27ab70183514c244.png=c2455ad4d5daf00053733eb8b78bf8d9.png=9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngy.根據余弦定理得cos∠BAC=46910c24fde33886e5d644446c869181.png=c5dffba54147d1fce907c8d714d6aab1.png=bb3b6fe12926d643a51f2e13d47c3386.png=-a59ce3117b23ea9d9e111f3a6c270771.png.故選A.]

二、填空題

6.一船向正北航行,看見正西方向相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上,繼續航行半小時后,看見一燈塔在船的南偏西60°,另一燈塔在船的南偏西75°,則這艘船的速度是每小時________海里.

10 [如圖所示,依題意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,

所以∠CAD=∠CDA=15°,從而CD=CA=10,

在Rt△ABC中,得AB=5,

于是這艘船的速度是a5a5b29ae5def06453df26b99a64e48d.png=10(海里/時).]

7.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足asin B=9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngbcos A.若a=4,則△ABC周長的最大值為________.

12 [由正弦定理32d68671299269b87e1e61df1a8d70cf.png=4532e33590da37c58474922e01b8465d.png,

可將asin B=9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngbcos A轉化為sin Asin B=9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngsin Bcos A.

又在△ABC中,sin B>0,∴sin A=9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngcos A,

即tan A=9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png.

∵0<A<π,∴A=5a777e0b4347abb14c3c394ee80f7e68.png.由于a=4,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,得16=b2+c2-2bc·66cb1286d2ae3e9092235381221e59d2.png=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,又bc≤b050879b645ae288ae4e66fb41bd07f0.png2,∴(b+c)2≤64,即b+c≤8,∴a+b+c≤12.]

8.如圖,在△ABC中,D是邊AC上的點,且AB=AD,2AB=9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngBD,BC=2BD,則sin C的值為________.

320038c07b7d941e9011e7cf815a59b1.png [設AB=a,∵AB=AD,2AB=9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngBD,BC=2BD,∴AD=a,BD=64e913e64b83605340a868fc20a506ba.png,BC=0754838e226395cd8a69e5595ecfee75.png.

在△ABD中,cos∠ADB=c5fc48d76548054438302f05ba1aa3b3.png=a59ce3117b23ea9d9e111f3a6c270771.png,

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