大乐透15120开奖直播现场:2020屆二輪(理科數學) 定值、定點、探索性問題 專題卷(全國通用)

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2020屆二輪(理科數學) 定值、定點、探索性問題 專題卷(全國通用)

1.(2019·安徽合肥模擬)已知橢圓7970355cf484d1dc3f5e0e84c6aa491d.png+8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png=1(a>b>0)的離心率為e68f71b82be7f74ae04acf5043ae4925.png,過橢圓上一點M作直線MA,MB分別交橢圓于A,B兩點,且斜率分別為k1,k2,若點A,B關于原點對稱,則k1·k2的值為________.

解析:由e2=1-08026cad1e14c09dc4e1788677851c24.png=92b0fea1adea396e33f600c32f2502ba.png,得0d0777cf64de15b7eecea706c7610147.png=7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png.設M(x,y),A(m,n),則B(-m,-n),k1·k2=24a51bfdca8d1c2120f1a492dc356f06.png·65bc8446f9172099456ca374d8dcdd90.png=cfbe819ffef8941470c4f09af57c634f.png,①

把y2=b213e173dcf76ed4ef6827436a15faec7d.png,n2=b2826d550d94691abc1af7bc31b7685fe2.png代入①式并化簡,可得k1·k2=-5b06bf6ab4983e819708b14ee5cad5e3.png=-7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png.

答案:-7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png

2.(2019·高考全國卷Ⅲ)已知曲線C:y=08219fd4023c171617f5eefcea5a0fb3.png,D為直線y=-df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png上的動點,過D作C的兩條切線,切點分別為A,B.

(1)證明:直線AB過定點;

(2)若以E8e2d4f6bfb89b56ebd8032cc7aeb3af7.png為圓心的圓與直線AB相切,且切點為線段AB的中點,求該圓的方程.

解:(1)證明:設D4f2fbe826aba24f69eae7103d5f7df32.png,A(x1,y1),則x5e5e73d21073c9f2146c1d9fc84c5d85.png=2y1.

由于y′=x,所以切線DA的斜率為x1,

故a2fc9e903dabeda1e5613bd2aaf199c0.png=x1.整理得2tx1-2y1+1=0.

設B(x2,y2),同理可得2tx2-2y2+1=0.

故直線AB的方程為2tx-2y+1=0.

所以直線AB過定點2f3a0bac7f0a5529cda69e1b506f1cd0.png.

(2)由(1)得直線AB的方程為y=tx+df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png.

由a7e505c42b89a048ba02d1987eef3074.png可得x2-2tx-1=0.于是x1+x2=2t,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1.

設M為線段AB的中點,則Mbaaa048171987e2ff8be9c2d3c24d7e7.png.

由于9d2fd2e0a9ec0fce7e9dc109ec9f1b80.png⊥1504cc2708929d612ceeb6e70f4ca557.png,而9d2fd2e0a9ec0fce7e9dc109ec9f1b80.png=(t,t2-2),512be99358cd29855598cdfd97f3689f.png與向量(1,t)平行,所以t+(t2-2)t=0.

解得t=0或t=±1.

當t=0時,|9d2fd2e0a9ec0fce7e9dc109ec9f1b80.png|=2,

所求圓的方程為x2+e96da9f7485a38bc5f6b7f843fd1e9ac.png2cfae20f5197e3d3d5ba9d29f1cc93ef.png=4;

當t=±1時,|9d2fd2e0a9ec0fce7e9dc109ec9f1b80.png|=1553867a52c684e18d473467563ea33b.png,

所求圓的方程為x2+e96da9f7485a38bc5f6b7f843fd1e9ac.png2cfae20f5197e3d3d5ba9d29f1cc93ef.png=2.

3.(2019·黑龍江齊齊哈爾八中模擬)已知橢圓C:7970355cf484d1dc3f5e0e84c6aa491d.png+8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png=1(a>b>0)的離心率為193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.png,過右焦點且垂直于x軸的直線l1與橢圓C交于A,B兩點,且|AB|=a3864e85c8725627d34d14ed31d4d3a2.png,直線l2:y=k(x-m)eb2ca5164825379c09e6f12574db2244.png與橢圓C交于M,N兩點.

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)已知點Qdb431a5bccc7a4450f303c05bd396d80.png,若0924fba52bebd4b632202e0be15d066a.png·e4278bb310faa624cde349b084c018ec.png是一個與k無關的常數,求實數m的值.

解:(1)聯立方程,得79c352697c31bd09320ad1cfa6d8167b.png解得y=±c2a626f372ae1b008fd6bc0cba6b3806.png,故545a73361ab026ca02e7b2b3cb687a71.png=1553867a52c684e18d473467563ea33b.png.

又e=15cfbb32683efed568c3f9d6af96693a.png=193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.png,a2=b2+c2,所以a=54283746f7a97f2de254ce1480db69a0.png,b=1,c=1,

故橢圓C的標準方程為08219fd4023c171617f5eefcea5a0fb3.png+y2=1.

(2)設M(x1,y1),N(x2,y2),聯立方程,得b0de7ccb618d3a41b0f04de560d188ce.png消元得(1+2k2)x2-4mk2x+2k2m2-2=0,

所以Δ=16m2k4-4(1+2k2)(2k2m2-2)=8(2k2-m2k2+1),

x1+x2=d8fe7a019ec638bb386ef7ae4ab293f5.png,x1x2=a4a1d74f1874e8c956bf5833c4c91946.png,

0924fba52bebd4b632202e0be15d066a.png·e4278bb310faa624cde349b084c018ec.png=de354945125c48403bf1794a69712b32.pngc74180fe0ea4913f530b2e891ca1b191.png+y1y2=x1x2-8643be2609ad123df6e792a2ad8a8e21.png(x1+x2)+a1cec77714fb799339be67cc5dec0c0a.png+k2(x1-m)(x2-m)=(1+k2)x1x2-7099e7d6ff006ab0f97cb9e8ac07a703.png(x1+x2)+a1cec77714fb799339be67cc5dec0c0a.png+k2m2=1b0535ae9781f85c7cb26df1109153b4.png+fe51efd7d4fe382361cd8a743cd0f6c2.png,

又0924fba52bebd4b632202e0be15d066a.png·e4278bb310faa624cde349b084c018ec.png是一個與k無關的常數,所以3m2-5m-2=-4,即3m2-5m+2=0,

解得m1=1,m2=9990455d5fdabd8eef6772b87a472f24.png,

因為m>265e19a4ae0afb453ff050334cc577b1.png,所以m=1.

當m=1時,Δ>0,直線l2與橢圓C交于兩點,滿足題意.

[綜合題組練]

1.(2019·湖北省五校聯考)在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C:9ddfe8849e5d88f8d7170e091606f32d.png+y2=1,點P(x1,y1),Q(x2,y2)是橢圓C上兩個動點,直線OP,OQ的斜率分別為k1,k2,若m=61f03557e640fe76b48b448a778034f6.png,n=01261e80cd756e063fc92d4f69fd320d.png,m·n=0.

(1)求證:k1·k2=-fd03fef51d1954ed41ff5290767da357.png;

(2)試探求△OPQ的面積S是否為定值,并說明理由.

解:(1)證明:因為k1,k2存在,所以x1x2≠0,

因為m·n=0,所以8956c38683a0d67fcb7e6aef77ce3212.png+y1y2=0,

所以k1·k2=19a535175f6c04b205829b557c27d4c7.png=-70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png.

(2)①當直線PQ的斜率不存在,即x1=x2,y1=-y2時,

由b6302f24746b5110184a531a180110e7.png=-70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png,得72e54d8193a0d1127eb9cb59c958603b.png4b17fab31583efe64099b3bcef7d0cfa.png-y4b17fab31583efe64099b3bcef7d0cfa.png=0,

又由P(x1,y1)在橢圓上,得f0926236fc38bc00d0b22ecc5b037cc2.png4b17fab31583efe64099b3bcef7d0cfa.png+y4b17fab31583efe64099b3bcef7d0cfa.png=1,

所以|x1|=a3864e85c8725627d34d14ed31d4d3a2.png,|y1|=ae350b5dab166344f7ea1d0213568b51.png,

所以S△POQ=7f97a793f6f849bb1e1eae1fb47036f9.png|x1|·|y1-y2|=1.

②當直線PQ的斜率存在時,設直線PQ的方程為y=kx+b(b≠0).

由d32864a366921502f3b892d895fb5ce2.png得(4k2+1)x2+8kbx+4b2-4=0,

Δ=64k2b2-4(4k2+1)(4b2-4)=16(4k2+1-b2)>0,

所以x1+x2=5061cfaac2cbc4a14d4dbb714d9bdcc4.png,x1x2=463fdde7448e1ab113c916ecbce4b365.png.

因為8956c38683a0d67fcb7e6aef77ce3212.png+y1y2=0,

所以8956c38683a0d67fcb7e6aef77ce3212.png+(kx1+b)(kx2+b)=0,得2b2-4k2=1,滿足Δ>0.

所以S△POQ=7f97a793f6f849bb1e1eae1fb47036f9.png·6c3a178ca12f79864fdc81c3619d727f.png|PQ|=df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png|b|00b37daa8ebabdc50afdceb634de2e60.png=2|b|·7ccfaffc297e97f8457779162edf234d.png=1.

所以△POQ的面積S為定值.

2.(綜合型)(2019·西安市八校聯考)已知直線l:x=my+1過橢圓C:7970355cf484d1dc3f5e0e84c6aa491d.png+8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png=1的右焦點F,拋物線x2=4e0ba6485114f500c1930ff382c316cbb.pngy的焦點為橢圓C的上頂點,且l交橢圓C于A,B兩點,點A,F,B在直線x=4上的射影依次為D,K,E.

(1)求橢圓C的方程;

(2)若直線l交y軸于點M,且df36320cb4f4eba352849662d88c760c.png=λ115b0af42eb39a80e9d2f2886f9c09e20.png,42986f97cab992f1cb3f8bdd11323eef.png=λ266b049e58e3c0bc3d2ead9a7c41007d7.png,當m變化時,證明:λ1+λ2為定值;

(3)當m變化時,直線AE與BD是否相交于定點?若是,請求出定點的坐標,并給予證明;否則,說明理由.

解:(1)因為l:x=my+1過橢圓C的右焦點F,

所以右焦點F(1,0),c=1,即c2=1.

因為x2=4e0ba6485114f500c1930ff382c316cbb.pngy的焦點(0,9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png)為橢圓C的上頂點,

所以b=9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png,

即b2=3,a2=b2+c2=4,

所以橢圓C的方程為9ddfe8849e5d88f8d7170e091606f32d.png+d5c2ed309cb78a764fa430ccd9f50f13.png=1.

(2)證明:由題意知m≠0,由d5933df4d7246d3e7665e241b927865e.png得(3m2+4)y2+6my-9=0.

設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=-18d9dd518b4e95808a540c5e0802df89.png,y1y2=-44bc0ad6414d80ec4c03382b5e2750ec.png.

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