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初中數學競賽專題選講

圖象法

一、內容提要

1.在講(一元二次方程)中,根據根的判別式和根與系數的關系,介紹了存在實數根,有理數根,整數根的充分必要條件.

2.要討論兩個實數根的符號,則可以建立不等式組.方程ax2+bx+c=0中,

1有兩個實數根的充分必要條件是dd4d0e4fd3faeb38fe8190934af02c49.png

②有兩個正實數根的充要條件是24dac35dca68134a89053484be0c49db.png(a≠0包含在66d57a6ba5662d46a3547ae56b2295b6.png之中)

③有一正一負實數根的充要條件是7a68e6c67aa2976ed1b3712678034c75.png(a≠0,△>0均已包含在內)

④有一正一負實根且負根絕對值較大的充要條件是9630243772d40aa51110a63ee01ceab6.png

3.在較小區間內討論實數根,則常利用圖象來建立不等式組.

4.一些含有絕對值符號的方程、不等式的題解,也可借助圖象.

二、例題

例1..已知:方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0的兩個實數根x1,x2滿足:0求:k的取值范圍.          (1990年全國初中數學聯賽題)

解:先畫出二次函數y=7x2-(k+13)x+k2-k-2的圖象的略圖.

根據圖象的開口方向是向上,它與橫軸有兩個交點,這兩點在點(1,0)的兩旁,

     的大體位置是:

分析圖象 可知

當x=0 時,y>0, 記作f(0)>0;

當x=1時,y<0, f(1)<0; 

當x=2時,y>0, f(2)>0.

得不等式組 b6033ec82a2f355875744966dd1c4506.png

解這個不等式組得5ba44dcffa266f49eedb53ceb4e529e6.png

∴原不等式組解集是?。?答:k的取值范圍是?。?本題由三個點的橫坐標0,1,2和它所對應的縱坐標范圍建立不等式組.

例2. m取什么值時,方程x2+(m+2)x+3=0的兩個根都大于1?

解:根據拋物線y= x2+(m+2)x+3的開口向上;它在縱軸的交點為(0,3);與橫軸的兩個交點都在點(1,0)右邊. 得圖象的略圖如下(左、右兩圖):

                  

                

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